Question

如图，在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线AB₁和平面A₁B₁CD所成角（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  π

  2

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB₁和平面A₁B₁CD所成角．

解答： 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
则A（1，0，0），B₁（1，1，1），
C（0，1，0），D（0，0，0），

AB1

=（0，1，1），

DB1

=（1，1，1），

DC

=（0，1，0），
设平面A₁B₁CD的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • DB1 =x+y+z=0 n • DC =y=0

，
取x=1，得

n

=（1，0，-1），
设直线AB₁和平面A₁B₁CD所成角为θ，
sinθ=|cos＜

n

，

AB1

＞|=|

-1

2 × 2

|=

1

2

，
∴θ=

π

6

．
故选：A．

点评：本题考查直线与平面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．