Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和S_n=

1

2

（a_n²+a_n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数M使得下列不等式2ⁿ•a₁•a₂•a₃…a_n≥M•

2n+1

•（2a₁-1）•（2a₂-1）•（2a₃-1）…（2a_n-1），对一切的n∈N^*成立，若存在，求出M的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可得{a_n}是以1为公差的等差数列，从而可求{a_n}的通项公式；
（2）假设M≤

2na1a2…an

2n+1 (2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)

对一切n∈N^*恒成立．令g（n）=

2na1a2…an

2n+1 (2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)

，g（n+1）=

2n+1a1a2…an+1

2n+3 (2a1-1)(2a2-1)…(2an+1-1)

．故

g(n+1)

g(n)

=

2n+2

2n+1 2n+3

=

4n2+8n+4 4n2+8n+3

＞1，由此能导出n∈N^*，g（n）≥g（1）=

2 3

3

，0＜M≤

2 3

3

．

解答： 解：（1）∵a_n²=2S_n-a_n，
∴当n=1时，

a

2 1

=2a₁-a₁，即

a

2 1

=a₁，
∵a₁＞0，a₁=1
又

a

2 n+1

=2S_n+1-a_n+1，
∴

a

2 n+1

-

a

2 n

=2（S_n+1-S_n）-a_n+1+a_n，
即（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=a_n+1+a_n，{a_n}的各项都是正数，
∴a_n+1-a_n=1
∴数列{a_n}是1为首项，公差为1的等差数列，
∴a_n=n
（2）假设M存在满足条件，即M≤

2na1a2…an

2n+1 (2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)

对一切n∈N^*恒成立．
令g（n）=

2na1a2…an

2n+1 (2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)

，g（n+1）=

2n+1a1a2…an+1

2n+3 (2a1-1)(2a2-1)…(2an+1-1)

．
故

g(n+1)

g(n)

=

2n+2

2n+1 2n+3

=

4n2+8n+4 4n2+8n+3

＞1，∴g（n+1）＞g（n），
∴g（n）单调递增，
∴n∈N^*，g（n）≥g（1）=

2 3

3

，
∴0＜M≤

2 3

3

．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．