Question

给出下列命题：
（1）设

e1

、

e2

是两个单位向量，它们的夹角是60°，则（2

e1

-

e2

）•（-3

e1

+2

e2

）=-

9

2

；
（2）已知函数f（x）=

log2x(x＞1) -x2+1(x≤1)

，若函数y=f（x）-m有3个零点，则0＜m＜1；
（3）已知函数f（x）=|2^x-1|的定义域和值域都是[a，b]（b＞a），则a+b=1；
（4）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）•[1-f（x）]=1+f（x），f（-1）=2+

3

，则f（2015）=

3

-2．
其中，正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1），利用数量积的概念及运算性质对（2

e1

-

e2

）•（-3

e1

+2

e2

）计算可判断（1）；
（2），依题意，作图分析，可判断（2）；
（3），利用函数f（x）=|2^x-1|的图象与性质可判断（3）；
（4），依题意，可求得f（x）是以8为周期的函数，可判断（4）．

解答： 解：（1）∵

e1

、

e2

是两个单位向量，它们的夹角是60°，则（2

e1

-

e2

）•（-3

e1

+2

e2

）=-6

e1

2+7

e1

•

e2

-2

e2

2=-6+7×1×1×

1

2

-2=-

9

2

，故（1）正确；
（2）由f（x）-m=0得：m=f（x），

由图可知，函数y=f（x）-m有3个零点，则0＜m＜1，故（2）正确；
（3），∵函数f（x）=|2^x-1|在[0，+∞）上是单调递增函数，函数f（x）=|2^x-1|的定义域和值域都是[a，b]（b＞a），
因此应有

|2a-1|=a |2b-1|=b

，又b＞a，解得

a=0 b=1

，
∴a+b=1，故（3）正确．
（4），∵f（x+2）•[1-f（x）]=1+f（x），f（-1）=2+

3

，
∴f（x）≠1，
∴f（x+2）=

1+f(x)

1-f(x)

，f（x+4）=

1+f(x+2)

1-f(x+2)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，
∴f[（x+4）+4]=f（x），即f（x+8）=f（x），
∴f（x）是以8为周期的函数，
∴f（2015）=f（252×8-1）=f（-1）=2+

3

≠

3

-2，故（4）错误．
故答案为：（1）（2）（3）．

点评：本题考查数量积的概念与运算性质，考查函数的零点与函数的周期性的判定与应用，考查指数函数图象与性质，属于难题．