Question

求下列函数的解析式．
（1）已知f（1-x）=2x²-x+1，求f（x）；
（2）已知f（x-

1

x

）=x²+

1

x2

，求f（x）；
（3）已知一次函数f（x）满足f（f（x））=4x-1，求f（x）；
（4）定义在（-1，1）内的函数f（x）满足2f（x）-f（-x）=lg（x+1），求f（x）．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）、（2）对函数f（x）进行配方即可求出函数f（x）的值域．
（3）设一次函数f（x）=ax+b，代入已知比较系数可得a和b的方程组，解方程组可得．
（4）因为2f（x）-f（-x）=lg（x+1），用-x代替x，得，2f（-x）-f（x）=lg（-x+1），两式联立消去f（-x），就可求出
f（x）．

解答： 解：（1）f（1-x）=2（1-x）²-3（1-x）+2，所以函数f（x）=2x²-3x+2；
（2）f（x-

1

x

）=x²+

1

x2

=（x-

1

x

）²+2，所以函数f（x）=x²+2；
（3）解：设一次函数f（x）=ax+b，
则f（f（x））=a（ax+b）+b
=a²x+ab+b=4x-1，
∴

a2=4 ab+b=-1

，解得

a=2 b=- 1 3

或

a=-2 b=1

，
∴f（x）=2x

1

3

，或f（x）=-2x+1；
（4）∵2f（x）-f（-x）=lg（x+1），①
∴2f（-x）-f（x）=lg（-x+1），②
①×2+②，得，3f（x）=2lg（x+1）+lg（1-x）
∴f（x）=

2

3

lg（x+1）+

1

3

lg（1-x）

点评：本题考查待定系数法求函数的解析式，涉及配方法、方程组的解法，属基础题．