Question

定义在R上的偶函数f（x）对任意的实数x都有f（x）=-f（x+

3

2

），且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值为

 

．

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：本题可先由条件“f（x）=-f（x+

3

2

）”得到函数的周期性，再由函数的奇偶性和条件“f（-1）=1，f（0）=-2，”求出f（1），f（2），f（3）的值，从而求出
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值，得到本题结论．

解答： 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x）．
∵对任意的实数x都有f（x）=-f（x+

3

2

），
∴f（x+

3

2

）=-f（x+3），
∴f（x+3）=f（x）．
∴函数f（x）的周期为3．
∵f（-1）=1，f（0）=-2，
∴f（1）=f（-1）=1，f（2）=f（2-3）=f（-1）=1，f（3）=f（0）=-2．
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=670[f（1）+f（2）+f（3）]+f（2011）
=670×（1+1-2）+f（1）
=1．
故答案为：1．

点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性，本题难度不大，属于基础题．