Question

已知

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosφ，sinφ）（|φ|＜

π

2

）．函数f（x）=

a

•

b

 且f（

π

3

-x）=f（x）．
（1）求f（x）的解析式及单调递增区间：
（2）将f（x）的图象向右平移

π

3

单位得g（x）的图象，若g（x）+1≤ax+cosx在x∈[0，

π

4

]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量的综合题

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意可得f（x）=sin（x+φ），f（x）的图象关于直线x=

π

6

对称，进而可得φ=

π

3

，可得f（x）=sin（x+

π

3

），易得递增区间；
（2）问题可转化为sinx-cosx≤ax-1在x∈[0，

π

4

]上恒成立，令h（x）=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），x∈[0，

π

4

]；φ（x）=ax-1，作图可得a≥k_AB即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•

b

=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），
再由f（

π

3

-x）=f（x）可知函数f（x）的图象关于直线x=

π

6

对称，
∴

π

6

+φ=

π

2

+kπ，k∈Z，又|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

3

∴f（x）=sin（x+

π

3

），
由2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

可得2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

，
∴函数的递增区间为[2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）由图象平移易知g（x）=sinx，即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0，

π

4

]上恒成立．
也即sinx-cosx≤ax-1在x∈[0，

π

4

]上恒成立
令h（x）=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），x∈[0，

π

4

]；φ（x）=ax-1
如下图：h（x）的图象在φ（x）图象的下方，
则：a≥k_AB=

0-(-1)

π 4 -0

=

4

π

，故a≥

4

π

点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的单调性和对称性和恒成立问题，数形结合是解决问题的关键，属中档题．