Question

12．已知函数$f（x）=\frac{sin2x-cos2x+1}{2sinx}$．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的取值范围；
（3）设α为锐角，且$tan\frac{α}{2}=\frac{1}{2}$，求f（α）的值．

Answer 1

分析 （1）根据分式的分母不能为0，即sinx≠0，可得函数f（x）的定义域．
（2）将函数化简，利用三角函数的有界限求解f（x）的取值范围；
（3）利用同角三角函数关系式和二倍角公式，求解f（α）的值．

解答 解：函数$f（x）=\frac{sin2x-cos2x+1}{2sinx}$．
（1）由sinx≠0得函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}
（2）函数化简得$f（x）=\frac{{2sinxcosx-（1-2{{sin}^2}x）+1}}{2sinx}=\frac{{2sinxcosx+2{{sin}^2}x}}{2sinx}=cosx+sinx=\sqrt{2}sin（x+$$\frac{π}{4}）（x≠kπ，k∈Z）$．
又由于x=kπ，k∈Z时，$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$的值为±1，
所以f（x）的取值范围为：$[-\sqrt{2}，-1）∪（-1，1）∪（1，\sqrt{2}]$
（3）令$t=tan\frac{α}{2}=\frac{1}{2}$，得$tanα=\frac{2t}{{1-{t^2}}}=\frac{4}{3}$，
由α为锐角，得$sinα=\frac{4}{5}，cosα=\frac{3}{5}$，
∴$f（α）=sinα+cosα=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=\frac{7}{5}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题