Question

2．已知定义在R上的函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{a}{{x}^{2}+1}$的值域为[-1，+∞），则实数a的值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 根据对数函数的性质，设$u=\frac{a}{{x}^{2}+1}$，u＞0，则$f（u）=lo{g}_{\frac{1}{2}}u$是单调递减，其值域为[-1，+∞），只需求u的最大值使得f（u）=-1即可得实数a的值．

解答 解：由题意，设$u=\frac{a}{{x}^{2}+1}$，u＞0，则$f（u）=lo{g}_{\frac{1}{2}}u$是单调递减，其值域为[-1，+∞），
当f（u）=-1时，则u=2，即u_max=2．
∵x²+1≥1，
当x²+1=1时，
$u=\frac{a}{{x}^{2}+1}$取得最大值为a，
故得a=2．
选择D

点评 本题考查复合函数的单调性以及值域的运用求解参数问题，属于函数性质应用题，属于基础题．