Question

7．在等差数列{a_n}中，2a₇-a₈=6且$a_2^2-{a_3}=1$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₁，a₂，a₄成等比数列，求数列{a_n•2${\;}^{{a}_{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由2a₇-a₈=6且$a_2^2-{a_3}=1$．可得2（a₁+6d）-（a₁+7d）=6，$（{a}_{1}+d）^{2}-（{a}_{1}+2d）$=1，
（2）由a₁，a₂，a₄成等比数列，可得a_n=n．a_n•2${\;}^{{a}_{n}}$=n•2ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵2a₇-a₈=6且$a_2^2-{a_3}=1$．
∴2（a₁+6d）-（a₁+7d）=6，$（{a}_{1}+d）^{2}-（{a}_{1}+2d）$=1，
解得：d=1，a₁=1，或d=$\frac{29}{16}$，a₁=$\frac{49}{16}$．
∴a_n=n或a_n=$\frac{49}{16}+\frac{29}{16}（n-1）$=$\frac{29n+20}{16}$．
（2）∵a₁，a₂，a₄成等比数列，∴a_n=n．
∴a_n•2${\;}^{{a}_{n}}$=n•2ⁿ．
数列{a_n•2${\;}^{{a}_{n}}$}的前n项和S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．