Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，x≥0}\\{{a}^{x}-1，x＜0}\end{array}\right.$，（x＞0且a≠1）的图象经过点（-2，3）．
（Ⅰ）求a的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；
（Ⅱ）若f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函数的图象经过点（-2，3），求出a，得到函数解析式，然后画出图象．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数的图象，可知函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（-∞，0），（2，+∞），推出m的取值范围．

解答 本题满分（12分）．
解：（Ⅰ）∵函数的图象经过点（-2，3），∴a^-2-1=3，解得$a=\frac{1}{2}$，
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4x\;，x≥0\\{（\frac{1}{2}）^x}-1，x＜0.\end{array}\right.$
其图象如图所示：
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（-∞，0），（2，+∞），
∴m+1≤0或m≥2或$\left\{\begin{array}{l}m+1≤2\\ m≥0\end{array}\right.$，
∴m的取值范围为m≤-1或0≤m≤1或m≥2．

点评 本小题考查二次函数、指数函数、分段函数等基础知识，考查函数的基本性质；考查运算求解能力、推理论证能力；考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想．