Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC+(cosA-

3

sinA)cosB=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=

13

，a+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）由已知根据三角函数中的恒等变换应用可解得sinAsinB-

3

sinAcosB=0，从而得tanB=

3

即可求B的值．
（Ⅱ）由余弦定理可得ac=1，代入三角形面积公式即可得解．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-

3

sinAcosB=0，
即有sinAsinB-

3

sinAcosB=0，…（2分）
∵sinA≠0，
∴sinB-

3

cosB=0，
∵cosB≠0，
∴tanB=

3

…（4分）
∵B∈（0，π），
∴B=

π

3

．…（6分）
（Ⅱ）由b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac（1+cosB），
∴13=42-2ac(1+cos

π

3

)，
∴ac=1，…（10分）
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×1×sin

π

3

=

3

4

．…（12分）

点评：本题主要考查了余弦定理、三角形面积公式的应用，三角函数中的恒等变换的应用，属于基础题．