Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$cos²x．
（1）求f（x）的最小周期和最小值；
（2）当x∈[$\frac{π}{2}，π}$]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角余弦公式及变形，两角差的正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出f（x）的最小正周期，由正弦函数的最值求出f（x）的最小值；
（2）由x∈[$\frac{π}{2}$，π]求出2x-$\frac{π}{3}$的范围，由正弦函数的图象与性质求出函数f（x）的值域．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$cos²x
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2x）=$sin（2x-\frac{π}{3}）-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由$2x-\frac{π}{3}=-\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$知，$sin（2x-\frac{π}{3}）$取到最小值是-1，
∴f（x）的最小值是$-\frac{\sqrt{3}+2}{2}$；
（2）由x∈[$\frac{π}{2}$，π]得，2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，
∴$sin（2x-\frac{π}{3}）∈[-1，\frac{\sqrt{3}}{2}]$，则$sin（2x-\frac{π}{3}）-\frac{\sqrt{3}}{2}∈[-1-\frac{\sqrt{3}}{2}，0]$，
∴函数f（x）的值域是[$-\frac{\sqrt{3}+2}{2}$，0]．

点评 本题考查了二倍角余弦公式及变形，两角差的正弦公式，以及正弦函数的图象与性质，考查整体思想，化简、变形能力．