Question

5．已知M为三角形ABC的边BC的中点，过线段AM的中点G的直线分别交线段AB，AC于点P，Q．若$\overrightarrow{AB}$=x$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{AC}$=y$\overrightarrow{AQ}$，则x+y的值是4．

Answer 1

分析 由三点共线可知$\overrightarrow{AG}$=λ$\overrightarrow{AP}$+（1-λ）$\overrightarrow{AQ}$，由向量加法的三角形法则，即可求得$\overrightarrow{AG}$=$\frac{x}{4}$$\overrightarrow{AP}$+$\frac{y}{4}$$\overrightarrow{AQ}$，分别求得x和y，即可求得x+y的值．

解答 解：三点P，G，Q共线，
∴存在实数λ使得$\overrightarrow{AG}$=λ$\overrightarrow{AP}$+（1-λ）$\overrightarrow{AQ}$，
$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AB}$=x$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{AC}$=y$\overrightarrow{AQ}$，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{x}{4}$$\overrightarrow{AP}$+$\frac{y}{4}$$\overrightarrow{AQ}$，
∴$\frac{x}{4}$=λ，1-λ=$\frac{y}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=4λ}\\{y=4-4λ}\end{array}\right.$，
则x+y=4λ+4-4λ=4，
故答案为：4．

点评 本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．