Question

11．过点A和圆心O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3$\sqrt{5}$，AB=3，则BE的长度为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 连接OD．AD与⊙O切于点D，可得AD²=AB•AC，解出AC．在Rt△ADO中，S_△ADO=$\frac{1}{2}AD•DO$=$\frac{1}{2}DE•AO$，解得DE．由DE⊥BC，可得BE•EC=DE²，即BE•（BC-BE）=DE²，解出BE即可得出．

解答 解：连接OD．
∵AD与⊙O切于点D，∴AD²=AB•AC，∴AC=$\frac{（3\sqrt{5}）^{2}}{3}$=15．
∴BC=15-3=12，∴⊙O的半径r=6．
在Rt△ADO中，S_△ADO=$\frac{1}{2}AD•DO$=$\frac{1}{2}DE•AO$，解得DE=$\frac{3\sqrt{5}×6}{3+6}$=2$\sqrt{5}$．
∵DE⊥BC，
∴BE•EC=DE²，即BE•（BC-BE）=DE²，
∴BE²-BC•BE+DE²=0，
∴BE²-12BE+20=0，
解得BE=2或10（舍去）．
∴BE=2，
故选：C．

点评 本题考查了圆的性质、直线与圆相切的性质、切割线定理、射影定理（相交弦定理）、直角三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．