Question

（1）若正数a，b满足ab=a+b+3，则分别求ab，a+b的取值范围
（2）若x＞0，求函数f（x）=

12

x

+3x的最小值；若x＜0，求函数f（x）=

12

x

+3x的值域．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）①由a＞0，b＞0，利用基本不等式可得ab=a+b+3≥2

ab

+3，解出即可；②由a＞0，b＞0，利用基本不等式可得a+b+3=ab≤(

a+b

2

)2，解出即可．
（2）①x＞0，利用基本不等式可得函数f（x）=

12

x

+3x≥2

12 x •3x

的最小值．
②由x＜0，变形利用基本不等式可得函数f（x）=

12

x

+3x=-[

12

-x

+(-3x)]≤-2

12 -x •(-3x)

的值域．

解答： 解：（1）①∵a＞0，b＞0，∴ab=a+b+3≥2

ab

+3，化为(

ab

)2-2

ab

-3≥0，
解得

ab

≥3，∴ab≥9，∴ab的取值范围是[9，+∞）．
②∵a＞0，b＞0，∴a+b+3=ab≤(

a+b

2

)2，化为（a+b）²-4（a+b）-12≥0，
解得0＜a+b≤6，∴a+b的取值范围是（0，9]．
（2）①x＞0，∴函数f（x）=

12

x

+3x≥2

12 x •3x

=12，当且仅当x=2时取等号，
∴函数f（x）=

12

x

+3x的最小值是12；
②∵x＜0，∴函数f（x）=

12

x

+3x=-[

12

-x

+(-3x)]≤-2

12 -x •(-3x)

=-12，当且仅当x=-2时取等号，
∴函数f（x）=

12

x

+3x的值域是（-∞，-12]．

点评：本题考查了基本不等式的性质，灵活选择基本不等式的形式和变形应用是解题的关键，属于中档题．