Question

若圆x²+y²=r²（r＞0）上有且只有两个点到直线x-y-2=0的距离为1，则实数r的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与x²+y²=r²有2个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r的取值范围．

解答： 解：作出到直线x-y-2=0的距离为1的点的轨迹，得到与直线x-y-2=0平行，且到直线x-y-2=0的距离等于1的两条直线，
∵圆x²+y²=r²的圆心为原点，
原点到直线x-y-2=0的距离为d=

|-2|

2

=

2

，
∴两条平行线中与圆心O距离分别为：

2

-1，

2

+1，
如图，当

2

-1＜r＜

2

+1时，圆x²+y²=r²与离圆心较近的直线有两个交点，
即有且只有两个点到直线x-y-2=0的距离为1．
故答案为：(

2

-1，

2

+1)．

点评：本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．