Question

已知函数f（x）=

mex-2x-x2lnx

x2

（其中e为自然对数的底）在区间（0，2）上有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，记实数m的取值范围为区间I．
（Ⅰ）求区间I；
（Ⅱ）记g（m）=x₁+x₂，证明：函数y=g（m）在区间I上单调递减．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据极值的意义，利用导数判断函数的单调性，求函数的最值，即可得出结论；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，结合函数单调性的定义加以证明．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

(x-2)(mex-x)

x3

，
∵x∈（0，2），∴x-2＜0，x³＞0，
∴x₁，x₂是方程me^x-x=0的两个不同的根，
即方程h（x）=

x

ex

，h′（x）=

1-x

ex

，
∴h（x）在（0，1]上递增，在[1，2]上递减，
又h（0）=0，h（1）=

1

e

，h（2）=

2

e2

，
∴I∈（

2

e2

，

1

e

）．
（Ⅱ）设m₁，m₂∈I，且m₁＜m₂，m₁，m₂对应的极值点分别是x₁，x₂和

x

′ 1

，

x

′ 2

，
∵h（x）=

x

ex

在区间（0，1]上递增，在[1，2]上递减，
∴0＜x₁＜

x

′ 1

＜1＜

x

′ 2

＜x₂，∴

x2

x1

＞

x ′ 2

x ′ 1

＞1，
又m₁ex1=x₁，m₁ex2=x₂，∴ex2-x1=

x2

x1

，
记

x2

x1

=t₁，则x₂-x₁=lnt₁，则x₁=

lnt1

t1-1

，x₂=

t1lnt1

t1-1

，g（m₁）=

(t1+1)lnt1

t1-1

，
记

x ′ 2

x ′ 1

=t₂，同理可得g（m₂）=

(t2+1)lnt2

t2-1

，
记φ（t）=

(t+1)lnt

t-1

，则φ′（t）=

-2lnt+t- 1 t

(t-1)2

，
令r（t）=-2lnt+t-

1

t

，则r′（t）=-

2

t

+1+

1

t2

=(

1

t

-1)2，∴t≥1时，r′（t）≥0，
∴t＞1时，r（t）＞r（1）=0，∴φ′（t）＞0，即φ（t）在区间（1，+∞）上单调递增，
∵t₁＞t₂＞1，∴φ（t₁）＞φ（t₂），即g（m₁）＞g（m₂），
∴函数y=g（m）在区间I上单调递减．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查学生分析问题，解决问题的能力及运算求解能力，逻辑性、综合性强，属于难题．