Question

某学校组织了一次安全知识竞赛，现随机抽取20名学生的测试成绩，如下表所示（不低于90分的测试成绩称为“优秀成绩”）：

79	90	82	80	84	95	79	86	89	91
97	86	79	78	86	77	87	89	83	85

（Ⅰ）若从这20人中随机选取3人，求至多有1人是“优秀成绩”的概率；
（Ⅱ）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校全体学生中（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：

分析：（Ⅰ）从这20人中随机选取3人共有

C

3 20

种不同情况，其中至多有1人是“优秀成绩”包括没有“优秀成绩”和有1个“优秀成绩”，利用排列组合公式，求出满足条件的情况个数，代入古典概型公式，可得答案．
（Ⅱ）抽到“优秀成绩”学生的概率P=

1

5

，而ξ可以取0，1，2，3，利用独立事件概率公式，可求出ξ的分布列，代入数学期望公式，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由表知：“优秀成绩”有4人，
设“从这20人中随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩””为事件A
则P（A）=

C 3 16

C 3 20

+

C 2 16 C 1 4

C 3 20

=

52

57

．     …（5分）
（Ⅱ）由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率P=

1

5

． …（6分）
ξ可以取0，1，2，3        …（7分）
P（ξ=0）=

C

0 3

(

1

5

)0(

4

5

)3=

64

125

；P（ξ=1）=

C

1 3

•

1

5

•(

4

5

)2=

48

125

；
P（ξ=2）=

C

2 3

•(

1

5

)2•

4

5

=

12

125

；P（ξ=3）=

C

3 3

•(

1

5

)3•(

4

5

)0=

1

125

．
ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P	64 125	48 125	12 125	1 125

∴E（ξ）=0×

64

125

+1×

48

125

+2×

12

125

+3×

1

125

=

3

5

   …（12分）

点评：本题考查的知识点是离散型随机变量的期望，古典概型，是概率与统计的综合应用，难度中档．