Question

17．在Rt△ABC中，∠C是直角，CA=4，CB=3，△ABC的内切圆交CA，CB于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点（不包含边界）．若$\overrightarrow{CP}$=x$\overrightarrow{CD}$+y$\overrightarrow{CE}$，则x+y的值可以是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 4
• D． 8

Answer 1

分析 求出内切圆半径，根据三点共线原理得出x+y分别对于1，2，4，8时P点的轨迹，从而判断出答案．

解答 解：设圆心为O，半径为r，则OD⊥AC，OE⊥BC，∴3-r+4-r=5，解得r=1．
连结DE，则当x+y=1时，P在线段DE上，排除A；
在AC上取点M，在CB上取点N，使得CM=2CD，CN=2CE，连结MN，∴$\overrightarrow{CP}$=$\frac{x}{2}$$\overrightarrow{CM}$+$\frac{y}{2}$$\overrightarrow{CN}$．
则点P在线段MN上时，$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{2}$=1，故x+y=2．
同理，当x+y=4或x+y=8时，P点不在三角形内部．排除C，D．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，三点共线原理，属于中档题．