Question

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PC与平面PAD所成角的正弦值为

6

4

，E、F分别是AB、PC的中点，PA⊥平面ABCD．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求PA的长．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）取PD的中点M，连接AM，FM，由MF∥CD∥AE，MF=AE=1，可得AEMF是平行四边形，从而证明EF∥平面PAD；
（2）作CH⊥AD于H点，可证CH⊥PH，可得sin∠HPC=

6

4

=

HC

PC

，可得CH=

3

，HD=1，AH=1，有由sin∠HPC=

6

4

=

HC

PC

可解得PC=2

2

，可得PH=

5

，即可求得PA的值．

解答： 证明：（1）取PD的中点M，连接AM，FM，
∵底面ABCD是边长为2的菱形，E、F分别是AB、PC的中点，
∴MF∥CD∥AE，MF=AE=1，
∴AEMF是平行四边形，EF∥AM，
∵AM?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（2）作CH⊥AD于H点，
∵PA⊥平面ABCD．∴PA⊥CH，
∴CH⊥平面PAD，
∴CH⊥PH，
∵PC与平面PAD所成角的正弦值为

6

4

，则sin∠HPC=

6

4

=

HC

PC

，
∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，
∴CH=

3

，HD=1，AH=1，
∴由sin∠HPC=

6

4

=

HC

PC

可解得PC=2

2

，
∴PH=

PC2-CH2

=

5

，
∴PA=

PH2-AH2

=2．

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，属于基本知识的考查．