Question

如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥ABCD，AD=2，∠BAD=60°．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）当二面角A-PC-B的余弦值为

21

7

时，求直线PB与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：

分析：（1）根据菱形的对角线互相垂直及线面垂直的性质，可得AC⊥BD，PA⊥BD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥面 PAC，再由面面垂直的判定定理可得面PBD⊥面PAC；（2）过B作BE⊥AD于点E，连结PE．由PA⊥平面ABCD得PA⊥BE，结合PA∩AD=A证出BE⊥平面PAD，可得∠BPE就是直线PB与平面PAD所成角．Rt△BPE中，利用三角函数的定义算出．

解答： 证明：（1）因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD
因为PA⊥平面ABCD，
所有PA⊥BD，
又因为PA∩AC=A，
所以BD⊥面 PAC．
而BD?面PBD，
所以面PBD⊥面PAC．
（2）过B作BE⊥AD于点E，连结PE
∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，∴PA⊥BE
∵BE⊥AD，PA∩AD=A
∴BE⊥平面PAD，可得∠BPE就是直线PB与平面PAD所成角
∵Rt△BPE中，BE=

3

，PE=

PA2+AE2

=

5

，PB=2

2

，
∴cos∠BPE=

PE

PB

=

6

4

．

点评：本题在特殊的四棱锥中证明线面垂直、求直线与平面所成角并求二面角的余弦值．着重考查了线面垂直的判定与性质、直线与平面所成角的求法和二面角的定义与求法等知识，属于中档题．