题目内容
已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，|AB|=3，点M满足2
=
．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）若曲线E的所有弦都不能被直线l：y=k（x-1）垂直平分，求实数k的取值范围．
| AM |
| MB |
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）若曲线E的所有弦都不能被直线l：y=k（x-1）垂直平分，求实数k的取值范围．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）设M（x，y），依题意A（
，0），B（0，3y），由此能求出M轨迹E的方程．
（2）设E的弦所在直线方程为y=-
+m，代入E的方程
，得（
+
）x2-
x+m2-1=0，由此利用根的判别式、韦达定理结合已知条件能求出实数k的取值范围．
| 3x |
| 2 |
（2）设E的弦所在直线方程为y=-
| x |
| k |
|
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| k2 |
| 2m |
| k |
解答：
解：（1）设M（x，y），依题意A（
，0），B（0，3y），
由|AB|=3，得
+9y2=9，
∴M轨迹E的方程是
+y2=1；
（2）设E的弦所在直线方程为y=-
+m，代入E的方程
，得（
+
）x2-
x+m2-1=0，
△=
-（1+
）（m2-1）
=-（m2-1-
）＞0，
m2＜1+
，①
设弦的两端为（x1，y1），（x2，y2），
则x1+x2=
=
，
弦的中点：x=
，y=-
+m=
，
这个中点不在直线y=k（x-1）上，
∴
≠k（
-1，
mk≠4km-k2-4，
m≠
，
m2≠
（k2+4）2，
≥1+
，
解得k≥
或k≤-
．
| 3x |
| 2 |
由|AB|=3，得
| 9x2 |
| 4 |
∴M轨迹E的方程是
| x2 |
| 4 |
（2）设E的弦所在直线方程为y=-
| x |
| k |
|
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| k2 |
| 2m |
| k |
△=
| 4m2 |
| k2 |
| 4 |
| k2 |
=-（m2-1-
| 4 |
| k2 |
m2＜1+
| 4 |
| k2 |
设弦的两端为（x1，y1），（x2，y2），
则x1+x2=
| ||||
|
| 8km |
| k2+4 |
弦的中点：x=
| 4km |
| k2+4 |
| 4m |
| k2+4 |
| mk2 |
| k2+4 |
这个中点不在直线y=k（x-1）上，
∴
| mk2 |
| k2+4 |
| 4km |
| k2+4 |
mk≠4km-k2-4，
m≠
| k2+4 |
| 3k |
m2≠
| 1 |
| 9k2 |
| (k2+4)2 |
| 9k2 |
| 4 |
| k2 |
解得k≥
| 5 |
| 5 |
点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
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