Question

15．△ABC的三个内角A、B、C，所对的边分别是a、b、c，若c=2$\sqrt{3}$，tanA+tanB=$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$tanAtanB，则△ABC的面积的取值范围是（　　）

• A． [$\sqrt{3}$，+∞）
• B． （0，$\sqrt{3}$]
• C． （$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$]
• D． （0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]

Answer 1

分析 由已知条件求得C，再由余弦定理可得ab的范围，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：由tanA+tanB=$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$tanAtanB，得tanA+tanB=$\sqrt{3}$（1-tanAtanB），
∴tan（A+B）=$\sqrt{3}$，即tanC=-$\sqrt{3}$．
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{2π}{3}$．
则sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又c=2$\sqrt{3}$，由余弦定理可得：$（2\sqrt{3}）^{2}={a}^{2}+{b}^{2}-2ab•cos\frac{2π}{3}$，
即a²+b²+ab=12，
∴12=a²+b²+ab≥3ab，得ab≤4．
则${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}ab•sinC≤\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$．
∴△ABC的面积的取值范围是（0，$\sqrt{3}$]．
故选：B．

点评 本题考查两角和的正切，考查正弦定理在求解三角形中的应用，是中档题．