Question

4．已知x=-3，x=1是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的两个相邻的极值点，且f（x）在x=-1处的导数f'（-1）＞0，则f（0）=（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 f（x）的周期为2×（3+1）=8，解出ω，由f（x）在x=-1处的导数f'（-1）＞0，得函数f（x）在[-3，1]递增，f（1）=1，φ=2kπ+$\frac{π}{4}$，即f（0）=sin（φ）即可

解答 解：∵x=1，x=-3是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的两个极值点，
∴f（x）的周期T═2×（1+3）=8，∴ω=$\frac{2π}{T}=\frac{π}{4}$，
∵f（x）在x=-1处的导数f'（-1）＞0，∴函数f（x）在[-3，1]递增，
∴f（1）=1，∴ω+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，φ=2kπ+$\frac{π}{4}$，
f（0）=sin（$\frac{π}{4}$+2kπ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质，导数与函数单调性的关系，属于中档题