Question

20．已知函数f（x）=x²-4x+2（1-a）lnx，（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[e，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）a=2时，f（x）=x²-4x-2lnx，
f′（x）=2x-4-$\frac{2}{x}$=$\frac{2{[（x-1）}^{2}-2]}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1+$\sqrt{2}$或x＜1-$\sqrt{2}$（舍），
令f′（x）＜0，解得：x＜1+$\sqrt{2}$，
故f（x）在（0，1+$\sqrt{2}$）递减，在（1+$\sqrt{2}$，+∞）递增；
（2）f′（x）=2x-4+$\frac{2（1-a）}{x}$=$\frac{2{[（x-1）}^{2}-a]}{x}$，
令g（x）=（x-1）²-a，
2＜a≤（e-1）²时，g（x）≥0，即f′（x）≥0，
f（x）在[e，+∞）递增，f（x）_min=f（e）=e²-4e+2（1-a），
a＞（e-1）²时，令g（x）＞0，解得：x＞1+$\sqrt{a}$，或x＜1-$\sqrt{a}$（舍），
令g（x）＜0，解得：e＜x＜1+$\sqrt{a}$，
故f（x）在[e，1+$\sqrt{a}$）递减，在（1+$\sqrt{a}$，+∞）递增，
故f（x）_min=f（1+$\sqrt{a}$）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．