题目内容
在△ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交AB，AC于M，N两点，若
=x
，
=y
，则4x+y的最小值为（ ）
| AM |
| AB |
| AN |
| AC |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
考点：平面向量的基本定理及其意义,向量在几何中的应用
专题：平面向量及应用
分析：根据向量的加法及条件，结合M，E，N三点共线，解出x，y的方程，然后利用“1”的代换，化简4x+y，利用基本不等式，求表达式的最小值即可．
解答：
解：∵
=
（
+
），且E为AD中点，∴
=
=
（
+
）．
又
=x
，
=y
（x＞0，y＞0），
∴
=
，
=
．
因此
=
（
+
），
又M，E，N三点共线，
∴
+
=1，（x＞0，y＞0）．
于是4x+y（4x+y）=1+
+
+
≥1+
+1=
．
| AD |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
| AE |
| 1 |
| 2 |
| AD |
| 1 |
| 4 |
| AB |
| AC |
又
| AM |
| AB |
| AN |
| AC |
∴
| AB |
| 1 |
| x |
| AM |
| AC |
| 1 |
| y |
| AN |
因此
| AE |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| x |
| AM |
| 1 |
| y |
| AN |
又M，E，N三点共线，
∴
| 1 |
| 4x |
| 1 |
| 4y |
于是4x+y（4x+y）=1+
| 1 |
| 4 |
| y |
| 4x |
| x |
| y |
| 1 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
点评：考查向量的加法运算，共线及共面向量基本定理，基本不等式这几个知识点．求解本题的另一个关键基本不等式求解表达式的最小值．
练习册系列答案
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A、6+2
| ||||
B、4+4
| ||||
C、2+4
| ||||
D、4+2
|
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，A1B1⊥A1C1，B1C⊥AC1，AB=2，AC=1则该三棱柱的体积为3个班分别从5个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是（ ）
| A、53 |
| B、35 |
| C、A53 |
| D、C53 |