Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是Ac，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如图2．
（1）求证：A₁C⊥平面BCDE；
（2）求棱锥A₁-CBED的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）证明A₁C⊥平面BCDE，因为A₁C⊥CD，只需证明A₁C⊥DE，即证明DE⊥平面A₁CD；
（2）直角梯形DCBE的面积S=

1

2

(BC+DE)×DC=

1

2

(3+2)×2=5，A₁C=

A1D2-CD2

=

16-4

=2

3

，由此能求出棱锥A₁-CBED的体积．

解答： （1）证明：∵CD⊥DE，A₁D⊥DE，CD∩A₁D=D，
∴DE⊥平面A₁CD，
又∵A₁C?平面A₁CD，∴A₁C⊥DE
又A₁C⊥CD，CD∩DE=D
∴A₁C⊥平面BCDE．
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，
D，E分别是Ac，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，
∴

AD

AC

=

DE

BC

，∴AD=

DE

BC

×AC=

2

3

×6=4，∴DC=6-4=2，
∴直角梯形DCBE的面积S=

1

2

(BC+DE)×DC=

1

2

(3+2)×2=5，
∵A₁D=AD=4，CD=2，A₁C⊥CD，
∴A₁C=

A1D2-CD2

=

16-4

=2

3

，
∴棱锥A₁-CBED的体积V=

1

3

×S×A1C=

1

3

×5×2

3

=

10 3

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．