Question

已知函数f（x）=x²-2lnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）对于函数图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函数图象上存在点P（x₀，y₀）（其中x₀在x₁与x₂之间），使得点P处的切线l平行于直线AB，则称AB存在“伴随切线”，当x₀=

x1+x2

2

时，又称AB存在“中值伴随切线”．试判断函数f（x）的图象上是否存在“中值伴随切线”，若存在，请求出“中值伴随切线”．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的定义域，函数的导数，通过f′（x）=

2(x+1)(x-1)

x

大于、小于0，即可求出函数的单调区间．
（2）假设存在不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（不妨设0＜x₁＜x₂），使得AB存在“中值伴随切线”，则

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′（

x1+x2

2

），化简后，构造函数g（x）=lnx-

2x-2

x+1

，通过函数的导数，利用定义，推出结论矛盾，得到结果．

解答： 解：（1）函数f（x）=x²-2lnx．函数的定义域为：x＞0，
∴f′（x）=

2(x+1)(x-1)

x

，
由f′（x）＞0知：递增区间为（1，+∞），
由f′（x）＜0知，递减区间为（0，1].3分
（2）假设存在不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（不妨设0＜x₁＜x₂），使得AB存在“中值伴随切线”，则

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′（

x1+x2

2

），
化简得：

2

x1+x2

=

lnx1-lnx2

x1-x2

，即

2• x1 x2 -2

x1 x2 +1

=ln

x1

x2

．
设函数g（x）=ln x-

2x-2

x+1

，则g′（x）=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

，
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，即g（x）在（0，1]上是增函数．
又0＜

x1

x2

＜1，所以g（

x1

x2

）＜g（1）=0，即

2• x1 x2 -2

x1 x2 +1

＞ln

x1

x2

，与上面结论矛盾，
所以在函数f（x）的图象上是不存在不同两点A，B，使得AB存在“中值伴随切线”.12分．

点评：本题考查函数的导数的综合应用，切线方程的求法，新定义以及构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．