Question

关于x的方程log₂（1+x）+log₂（1-x）=log₂（x+k）有两个不同的解，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：令y=log₂（1+x）+log₂（1-x），则函数y=log₂（1+x）+log₂（1-x）的定义域为为：（-1，1），若方程log₂（1+x）+log₂（1-x）=log₂（x+k）有两个不同的解，则log₂[（1+x）（1-x）]=log₂（x+k）有两个不同的解，即（1+x）（1-x）=x+k在（-1，1）上有两个不同的解，即函数f（x）=x²+x+（k+1）在（-1，1）上有两个零点，进而可得实数k的取值范围．

解答： 解：令y=log₂（1+x）+log₂（1-x），
则函数y=log₂（1+x）+log₂（1-x）的定义域为为：（-1，1），
若方程log₂（1+x）+log₂（1-x）=log₂（x+k）有两个不同的解，
则log₂[（1+x）（1-x）]=log₂（x+k）有两个不同的解，
即（1+x）（1-x）=x+k在（-1，1）上有两个不同的解，
即函数f（x）=x²+x+（k+1）在（-1，1）上有两个零点，
由函数f（x）=x²+x+（k+1）的图象是开口朝上，且以直线x=-

1

2

为对称轴的抛物线，
故

f(1)＞0 f(-1)＞0 f(- 1 2 )＜0

，
即

k+3＞0 k+1＞0 k+ 3 4 ＜0

，
解得：k∈（-1，-

3

4

），
故答案为：（-1，-

3

4

）

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，对数的运算性质，其中将问题转化为函数f（x）=x²+x+（k+1）在（-1，1）上有两个零点，是解答的关键．