Question

已知函数f（x）=

a|x|-1

|x|

．
（1）写出函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数y=f（x）在[m，n]上值域是[m，n]（m≠n），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的单调性及单调区间,函数的最值及其几何意义

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）用函数单调性定义证明，先在给定的区间任取两变量，界定其大小，然后作差变形看符号．
（2）将f（x）＜2x为a＜

1

x

+2x在（1，+∞）上恒成立，只要再求得h（x）最小值即可．
（3）函数的定义域：x＞0或x＜0．当x＞0时，f（x）=a-

1

x

单调递增；当x＜0时，f（x）=a+

1

x

单调递减．当x＞0时，f（m）=m且f（n）=n且m＜n，即m=a-

1

m

，且n=a-

1

n

，且m＜n，这个式子等价于方程二元一次方程x²-ax+1=0有两个正的不等实根，由此能求出a的取值范围．

解答： 解：（1）当x∈（0，+∞）时，f（x）=a-

1

x

，
设0＜x₁＜x₂，则x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0．
f（x₁）-f（x₂）=（a-

1

x1

）-（a-

1

x2

）=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂），
故有f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
（2）由题意a＜

1

x

+2x在（1，+∞）上恒成立，
设h（x）=2x+

1

x

，则a＜h（x）在（1，+∞）上恒成立．
可证h（x）在（1，+∞）上单调递增．
故a≤h（1），即a≤3，
∴a的取值范围为（-∞，3]．
（3）函数的定义域：x＞0或x＜0．
当x＞0时，f（x）=a-

1

x

单调递增；当x＜0时，f（x）=a+

1

x

单调递减．
当x＞0时，f（m）=m且f（n）=n且m＜n，即m=a-

1

m

，且n=a-

1

n

，且m＜n，
这个式子等价于方程
x=a-

1

x

有两个不等实根，即二元一次方程x²-ax+1=0有两个正的不等实根，
当x＜0时，f（m）=n且f（n）=m，即a+

1

m

=n，且a+

1

n

=m，且m＜n＜0，
a=n-

1

m

=m-

1

n

．
根据以上情况，有：
①对称轴

a

2

，判别式△=a²-4＞0，且x=0时等式左边=1＞0．解得a＞2．
②a²=nm+

1

mn

-2，
a-a=（n-m）-（

1

m

）=（n-m）-

n-m

mn

=（n-m）（1-

1

mn

）=0，
因为n-m≠0，所以1-

1

mn

=0，即mn=1，所以a²=1+1-2=0
综上所述，a的取值范围是{a|a＞2或a=0}．

点评：本题主要考查函数单调性的证明以及用单调性求最值问题，考查实数的取值范围的求法，属于难题．