Question

若方程x-b=

1-(x-2)2

有两个不同的实数解，则实数b的取值范围为（　　）

• A、[2-

  2

  ，2+

  2

  ]
• B、（2-

  2

  ，1]
• C、（2-

  2

  ，1）
• D、（2-

  2

  ，2+

  2

  ）

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：若方程x-b=

1-(x-2)2

有两个不同的实数解，则函数y=x-b与y=

1-(x-2)2

有两个交点，画出两个函数的图象，数形结合可得实数b的取值范围．

解答： 解：若方程x-b=

1-(x-2)2

有两个不同的实数解，
则函数y=x-b与y=

1-(x-2)2

有两个交点，
在同一坐标系中画出函数y=x-b与y=

1-(x-2)2

的图象，如下图所示：

y=

1-(x-2)2

的图象为以（2，0）点为圆心，以1为半径的半圆，
故当圆心（2，0）点到直线y=x-b即x-y-b=0的距离等于半径1时，直线与圆有一个交点，
此时

|2-b|

2

=1，解得：b=2-

2

，或b=2+

2

（舍），
由图可得：当b∈（2-

2

，1]时，函数y=x-b与y=

1-(x-2)2

的图象有两个交点，
即方程x-b=

1-(x-2)2

有两个不同的实数解时，实数b的取值范围为（2-

2

，1]，
故选：B

点评：本题考查方程根的个数的判断，体现了数形结合及转化的数学思想．