题目内容
已知抛物线E：x2=4y．
（1）若直线y=x+1与抛物线E相交于P，Q两点，求|PQ|弦长；
（2）已知△ABC的三个顶点在抛物线E上运动．若点A在坐标原点，BC边过定点N（0，2），点M在BC上且
•
=0，求点M的轨迹方程．
（1）若直线y=x+1与抛物线E相交于P，Q两点，求|PQ|弦长；
（2）已知△ABC的三个顶点在抛物线E上运动．若点A在坐标原点，BC边过定点N（0，2），点M在BC上且
| AM |
| BC |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由
，得x2-4x-4=0，由此能求出张长|PQ|．
（2）设点M的坐标为（x，y），BC边所在的方程过定点N（0，2），所以
=(x，y)，
=(-x，2-y)，由此能求出点M的轨迹方程．
|
（2）设点M的坐标为（x，y），BC边所在的方程过定点N（0，2），所以
| AM |
| MN |
解答：
解：（1）由
，得x2-4x-4=0，…（2分）
△=16+16=32，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=4，x1x2=-4，
∴|PQ|=
=8．…（6分）
（2）设点M的坐标为（x，y），
∵BC边所在的方程过定点N（0，2），
∴
=(x，y)，
=(-x，2-y)…（8分）
∵
•
=0，∴
•
=0，
∴-x•x+y（2-y）=0，即y2+x2-y=0（y≠0），
∴点M的轨迹方程是x2+y2-y=0，（y≠0）．…（14分）
（注：没写y≠0扣1分）
|
△=16+16=32，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=4，x1x2=-4，
∴|PQ|=
| 2 |
| 42-4•(-4) |
（2）设点M的坐标为（x，y），
∵BC边所在的方程过定点N（0，2），
∴
| AM |
| MN |
∵
| AM |
| BC |
| AM |
| MN |
∴-x•x+y（2-y）=0，即y2+x2-y=0（y≠0），
∴点M的轨迹方程是x2+y2-y=0，（y≠0）．…（14分）
（注：没写y≠0扣1分）
点评：本题考查弦长的求法，考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．
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