题目内容
已知函数f（x）=sin（2x+
）+sin（2x-
）+2cos2x，（x∈R）
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求使f（x）≥2的x的取值范围．
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求使f（x）≥2的x的取值范围．
考点：三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）利用两角和差的正弦公式、倍角公式可得f（x）=
sin(2x+
)+1．再利用正弦函数的单调性可得函数f（x）的单调递减区间．
（2）由f（x）≥2，即
sin(2x+
)+1≥2，化为sin(2x+
)≥
．再利用正弦函数的单调性即可得出．
| 2 |
| π |
| 4 |
（2）由f（x）≥2，即
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
解答：
解：（1）函数f（x）=sin（2x+
）+sin（2x-
）+2cos2x
=sin2xcos
+cos2xsin
+sin2xcos
-cos2xsin
+1+cos2x
=sin2x+cos2x+1
=
sin(2x+
)+1．
由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，解得kπ+
≤x≤kπ+
（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递减区间[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）．
（2）由f（x）≥2，即
sin(2x+
)+1≥2，化为sin(2x+
)≥
．
∴2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，解得kπ≤x≤kπ+
（k∈Z）．
∴使f（x）≥2的x的取值范围是[kπ，kπ+
]（k∈Z）．
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
=sin2xcos
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
=sin2x+cos2x+1
=
| 2 |
| π |
| 4 |
由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
∴函数f（x）的单调递减区间[kπ+
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
（2）由f（x）≥2，即
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
∴2kπ+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
∴使f（x）≥2的x的取值范围是[kπ，kπ+
| π |
| 4 |
点评：本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
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