Question

已知点P（a+1，b+1），Q（1，0）不重合，线段PQ与直线2x-3y+1=0有交点，给出下列命题：
①2a-3b≤0；
②当a≠0时，

b

a

既有最小值又有最大值；
③?M＞0，-

1

9

-b-a²≤M恒成立；
④当a≥0时，4^a＜9^b；
⑤若b＜0，则|

PQ

|取最小值时a=-

6

13

．
其中正确的命题是

 

（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,阅读型,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由题意知，P，Q两点在直线的两侧或其中一点在直线l上，故有（2（a+1）-3（b+1）+1）•（2+1）≤0，化简即可判断①；
由2a-3b≤0表示的区域内，讨论（a，b）所在象限，即可判断②；
由2a-3b≤0，运用不等式的性质以及配方，结合二次函数的最值，即可判断③；
由2a-3b≤0，借助指数函数和幂函数的单调性，即可判断④；
运用点（a，b）在第四象限，过点（0，-1）作直线2a-3b=0的垂线，则有垂足和点（0，1）的距离最小，求出垂线方程和已知直线求交点，即可判断⑤．

解答： 解：对于①，由点P（a+1，b+1），Q（1，0），线段PQ与直线2x-3y+1=0有交点，
则P，Q两点在直线的两侧或其中一点在直线l上，
即有（2（a+1）-3（b+1）+1）•（2+1）≤0，解得：2a-3b≤0，则①对；
对于②，由①得点R（a，b）在2a-3b≤0表示的区域内，若R在第一象限内，即有

b

a

≥

2

3

，
若R在第四象限内，即有0≤

b

a

≤

2

3

，若R在第二象限内，则

b

a

＜0，
则当a≠0时，

b

a

没有最小值也没有最大值，则②错；
对于③，由2a-3b≤0可得，-b≤

2

3

a，则有-

1

9

-b-a²≤-

1

9

+

2

3

a-a²=-（a-

1

3

）²≤0＜M，
则③对；
对于④，由2a-3b≤0，即有2a≤3b，即b＞0，当a≥0时，2^2a≤2^3b=8^b＜9^b，则④对；
对于⑤，若b＜0，则|

PQ

|=

a2+(b+1)2

表示点（a，b）与（0，-1）的距离，点（a，b）在第四象限，
过点（0，-1）作直线2a-3b=0的垂线，则有垂足和点（0，1）的距离最小，由2a-3b=0和2b+3a+2=0，
解得a=-

6

13

，则⑤对．
故答案为：①③④⑤．

点评：本题考查不等式表示的平面区域，考查直线的斜率及方程的求法，以及两直线垂直的条件，考查二次函数的最值和指数函数、幂函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．