Question

如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），连接AM并延长交x轴交于点N（n，0），则区间（0，1）中实数m的像就是n，记作f（m）=n．
（1）f（

1

3

）=

 

；
（2）0＜m＜1时，f（m）的解析式是f（m）=

 

Answer 1

考点：映射

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：设AB围成圆P，圆P与y轴另一个交点为C，连接CM．利用Rt△CMA∽Rt△∠NOA，得

CM

NO

=

AM

AO

…①．圆P中利用弧度制定义和直角三角形三角函数的定义，算出AM、CM关于m的表达式，结合ON=f（m），OA=1，代入①化简，即得f（m）与m的函数关系式，即可得出结论．

解答： 解：设AB围成的圆为圆P，圆P与y轴另一个交点为C，连接CM
∵AC是圆N的直径
∴∠CMA=∠NOA=90°
∵∠CAM=∠NAO，
∴△CMA∽△∠NOA，得

CM

NO

=

AM

AO

…①
∵Rt△ACM中，直径AC=

1

π

，2∠ACM=2πm
∴AM=ACsin∠ACM=

1

π

sinπm，CM=

1

π

cosπm，
而ON=f（m），OA=1，代入①得f（m）与m的函数关系式为f（m）=

cosmπ

sinmπ

，m∈（0，1）；
∴f（

1

3

）=

3

3

故答案为：

3

3

；f（m）=

cosmπ

sinmπ

，m∈（0，1）．

点评：本题给出长度为1的线段围成圆后放入坐标系中，求圆的弦所在直线与x轴交点坐标的表达式，着重考查了弧度制定义、三角函数的定义和三角形相似等知识，属于基础题．