Question

已知奇函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0．
（1）求证：函数f（x）在（-∞，0）上是增函数；
（2）解关于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）设x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，则有-x₁＞-x₂＞0，然后根据奇函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，建立不等关系，化简即可得到f（x₁）＜f（x₂），从而得到函数的单调性．
（2）分类讨论解不等式，即可得出结论．

解答： （1）证明：设x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，则有-x₁＞-x₂＞0，
∵f（x）是[0，+∞）上的增函数∴f（-x₁）＞f（-x₂）
又∵f（x）为R上的奇函数，∴-f（x₁）＞-f（x₂），即f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）是（-∞，0）上的单调增函数；
（2）解：x＞0时，f（x）＜f（1），∴x＜1，∴0＜x＜1；
x＜0时，f（x）＜f（-1），∴x＜-1，∴x＜-1，
∴不等式f（x）＜0的解集为{x|0＜x＜1或x＜-1}．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数单调性的判断与证明，属于中档题．