Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点（1，

3

2

），椭圆C的离心率e=

3

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）△ABC的三个顶点都在椭圆上，且△ABC的重心是原点O，证明：△ABC的面积是定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

e= c a = 3 2 1 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），由△ABC重心是原点，得x₃=-（x₁+x₂），y₃=-（y₁+y₂），设直线AB的方程为y=kx+m，由

y=kx+m x2+4y2=4

，得x²+4（kx+m）²=4，由此能求出△ABC的面积是定值

3 3

2

．

解答： （1）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点（1，

3

2

），
椭圆C的离心率e=

3

2

，
∴

e= c a = 3 2 1 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=1，c²=3，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
∵△ABC重心是原点，∴

x1+y1+z1

3

=0，

y1+y2+y3

3

=0，
∴x₃=-（x₁+x₂），y₃=-（y₁+y₂），
当直线AB的斜率不存在时，A（-1，

3

2

），B（-1，-

3

2

），C（2，0），
或A（1，

3

2

），B（1，-

3

2

），C（-2，0），此时S△ABC=

3 3

2

．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，
由

y=kx+m x2+4y2=4

，得x²+4（kx+m）²=4，
（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

，
y1+y2=k(x1+x2)+2m=-

8k2m

1+4k2

+2m=

2m

1+4k2

，
∴x3=

8km

1+4k2

，y3=-

2m

1+4k2

，
∵C（x₃，y₃）在椭圆上，∴（

8km

1+4k2

）²+4（-

2m

1+4k2

）²=4，
∴4m²=4k²+1，
∵|AB|=

1+k2

64k2m2-4(4m2-4)(4k2+1)

1+4k2

=

1+k2

4 -m2+4k2+1

1+4k2

=

1+k2

4 3m2

1+4k2

，
点C（x₃，y₃）到直线AB的距离d=

| 8k2m 1+4k2 + 2m 1+4k2 +m|

1+k2

=

|3m|

1+k2

，
∴S_△ABC=

1

2

|AB|d=

1

2

1+k2

•

4 3m2

1+4k2

•

|3m|

1+k2

=

6 3 m2

1+4k2

=

6 3 m2

4m2

=

3 3

2

．
综上所述，△ABC的面积是定值

3 3

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．