题目内容

经英国相关机构判断，MH370在南印度洋海域消失．中国两舰艇随即在边长为100海里的某正方形ABCD（如图）海域内展开搜索．两艘搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且∠PAQ=
π
4
（其中点P、Q分别在边BC、CD上），搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面．设∠PAB=θ，搜索区域的面积为S．
（1）试建立S与tanθ的关系式，并指出θ的取值范围；
（2）求S的最大值，并求此时tanθ的值．
考点：函数模型的选择与应用
专题：应用题,不等式的解法及应用
分析：（1）利用S=SABCD-S△ABP-S△ADQ，可得S与tanθ的关系式；
（2）令t=1+tanθ，t∈（1，2），利用基本不等式，可求S的最大值，并求此时tanθ的值．
解答： 解：（1）∵∠PAB=θ，∠PAQ=
π
4
，
∴S=S正方形ABCD-S△ABP-S△ADQ=10000-5000tanθ-5000tan(
π
4
-θ)
=10000-5000(tanθ+
1-tanθ
1+tanθ
)=10000-5000(tanθ+
2
1+tanθ
-1)，θ∈(0，
π
4
)
（2）令t=1+tanθ，t∈（1，2），
则S=10000-5000(t+
2
t
-2)=20000-5000(t+
2
t
)，当t=
2
时，Smax=20000-10000
2
．
∴当tanθ=
2
-1时，搜索区域面积S的最大值为（20000-10000
2
）平方海里．
点评：本题考查三角形面积的计算，考查换元法，考查基本不等式的应用，确定函数解析式是关键．
练习册系列答案
相关题目
某校高三一班的男女同学的人数之比为3：2，用分层抽样的方法从该班的同学中抽取一个容量为5的样本，已知女同学中甲、乙两同学都被抽到的概率为
1
190
，则该班的总人数为（　　）
A、50B、60
C、120D、190
已知△ABC中，|
BC
|=10，
AB
•
AC
=-16，D为边BC的中点，则|
AD
|等于（　　）
A、6B、5C、4D、3
如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点P（-1，0），Q（0，
3
），圆Cn：（x-an）2+（y-bn）2=rn2（0≤a1＜a2＜a3＜…）与x轴和直线l均相切，在x轴上的切点为An（n=1，2，3…），且相邻两圆都外切．
（1）求直线l的方程；
（2）若a1=0，求圆C1的方程；
（3）若a1=0，求数列{an}的通项公式．
已知F1、F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的左、右焦点，O为坐标原点，点P（-1，
2
2
）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足
PM
+
F2M
=
0
；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．当
OA
•
OB
=λ且满足
2
3
≤λ≤
3
4
时，求△AOB面积S的取值范围．
南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市，现在可以在飞机、火车和汽车这三种运输方式中选择一种，三种运输方式的参考数据如表所示：
运输工具 途中速度
（千米/时）		 　途中费用
（元/千米）		 装卸费用（元） 　装卸时间
（小时）		 运输装卸损耗费用（元/小时）
　飞机 　200 　15 　1000 　2 200
　火车 　100 　4 　2000 　4 200
　汽车 　50 　8 　700 　3 200
（1）设A、B两市之间的距离为x千米，用y1、y2、y3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用（包括损耗），求出y1、y2、y3与小x间的函数关系式．
（2）应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小？
如图所示，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东α角的射线OZ方向航行，而在离港口3
13
海里的北偏东β角的A处有一个供给科考船物资的小岛，其中tanα=
1
3
，tanβ=
3
2
．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O正东t（t＞7）海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船，该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB围成的三角形OBC的面积最小时，这种补给最适宜．
（1）求S关于t的函数关系式S（t）；
（2）应征调t为何值处的船只，补给最适宜．
已知函数f（x）=ln（1+x）-
ax
x+2
．
（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅲ）证明不等式
1
3
+
1
5
+…+
1
2n+1
＜ln
n+1
对任意n∈N*成立．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点（1，
3
2
），椭圆C的离心率e=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）△ABC的三个顶点都在椭圆上，且△ABC的重心是原点O，证明：△ABC的面积是定值．

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