Question

8．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为$2\sqrt{3}$，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于（　　）

• A． 5π
• B． 20π
• C． 8π
• D． 16π

Answer 1

分析 画出球的内接直三棱ABC-A₁B₁C₁，作出球的半径，然后可求球的表面积．

解答 解：设棱柱的高为h，则$\frac{1}{2}×2×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×h=2\sqrt{3}$，∴h=4．
∵AB=2，AC=1，∠BAC=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$
如图，连接上下底面外心，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，
则球的半径为OA，
由题意，AP=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=1，OP=2，
∴OA=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
所以球的表面积为：4πR²=20π．
故选：B．

点评 本题考查球的体积和表面积，球的内接体问题，考查学生空间想象能力理解失误能力，是中档题．