Question

7．已知F₁、F₂分别为椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左右两个焦点，过F₁作倾斜角为$\frac{π}{4}$的弦AB，则△F₂AB的面积为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$-1

Answer 1

分析 求出直线AB的方程，代入椭圆方程，求得交点A，B的坐标，利用S=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•|y₁-y₂|，即可得出S．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左右两个焦点（-1，0），过F₁作倾斜角为$\frac{π}{4}$的弦AB，可得直线AB的方程为：y=x+1，
把 y=x+1 代入 x²+2y²=2 得3x²+4x=0，
解得x₁=0  x₂=-$\frac{4}{3}$，y₁=1，y₂=-$\frac{1}{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×2×|1+\frac{1}{3}|$=$\frac{4}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题、椭圆的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于中档题．