题目内容

已知函数f（x）=sin（2x-
π
3
）+cos（2x-
π
6
）+2cos2x-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[-
π
4
，
π
4
]上的最大值和最小值．
考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法
专题：计算题,三角函数的图像与性质
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，由此求得最小正周期．
（2）由（1）得到的表达式，结合当x∈[-
π
4
，
π
4
]时，求出相位的范围，再根据正弦函数的图象与性质的公式，即可得到函数的最大值与最小值．
解答： 解：（1）函数f（x）=sin（2x-
π
3
）+cos（2x-
π
6
）+2cos2x-1
=sin2xcos
π
3
-cos2xsin
π
3
+cos2xcos
π
6
+sin2xsin
π
6
+cos2x （3分）
=sin2x+cos2x           （4分）
=
2
sin（2x+
π
4
）               （5分）
所以函数f（x）的最小正周期T=
2π
2
=π．（6分）
（2）∵f（x）在区间[-
π
4
，
π
4
]上是增函数，在区间[
π
8
，
π
4
]上是减函数，（8分）
又f(-
π
4
)=-1，f(
π
8
)=
2
，f(
π
4
)=1，（11分）
故函数f（x）在区间[-
π
4
，
π
4
]上的最大值为
2
，最小值为-1．（12分）
点评：本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，余弦函数的性质及和差角公式在求值中的应用．
练习册系列答案
相关题目
已知曲线C1：x2+y2-2x=0和曲线C2：y=xcoxθ-1（θ为锐角），则C1与C2的位置关系为（　　）
A、相切B、相交
C、相离D、以上情况均有可能
直线l过点（1，1），交x轴，y轴的正半轴分别于A，B，过A，B作直线3x+y+3=0的垂线，垂足分别为C，D．
（1）当AB∥CD时，求CD中点M的坐标；
（2）当|CD|最小时，求直线l的方程．
已知在同一平面内的两个向量
a
=(
3
sinx+cos(ωx+
π
3
)，-1)，
b
=(1，1-cos(ωx-
π
3
))，其中ω＞0，x∈R．函数f(x)=
a
•
b
，且函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向右平移
π
6
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[0，
π
2
]上的单调递增区间．
已知函数f（x）=
2
sin2x+
2
cos2x，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和递减区间；
（2）若f（
α
2
-
π
8
）=
3
2
，α是第二象限的角，求sin2α．
已知直线l过点C（4，1），
（1）若直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程．
（2）若直线l分别与x轴、y轴的正半轴相交于A，B两点，O为坐标原点，记|OA|=a，|OB|=b，求a+b的最小值，并写出此时直线l的方程．
下列说法中正确的是：
 

①函数y=x-
3
2
的定义域是{x|x≠0}；
②方程x2+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；
③α是第二象限角，β是第一象限角，则α＞β；
④函数y=loga（2x-5）-2，（a＞0，且a≠1）恒过定点（3，-2）；
⑤若3x+3-x=2
2
，则3x-3-x的值为2
⑥若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1-x2）=f（x1）-f（x2）+1，则f（x）-1为奇函数．
已知cos(
π
6
-θ)=
1
3
，则cos(
5π
6
+θ)+sin(
2π
3
-θ)=
 
．
已知向量
a
、
b
、
c
两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|
a
-
b
+2
c
|等于（　　）
A、5
B、
5
C、6
D、
6

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