Question

直线l过点（1，1），交x轴，y轴的正半轴分别于A，B，过A，B作直线3x+y+3=0的垂线，垂足分别为C，D．
（1）当AB∥CD时，求CD中点M的坐标；
（2）当|CD|最小时，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线的截距式方程

专题：不等式的解法及应用,直线与圆

分析：（1）直接设截距式方程，代入点的坐标，和AB∥CD斜率相等的条件，可确定方程，设出AB的中点N，求出MN的方程与CD的方程联立解得点M的坐标；
（2）利用点到直线的距离公式表示出|CD|，利用基本不等式求解即可

解答： 解：依题意，设A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，
则直线AB的方程为

x

a

+

y

b

=1，
∵点（1，1）在AB上，∴

1

a

+

1

b

=1，①
（1）当AB∥CD时，则可得k_AB=-3，
即-

b

a

=-3∴b=3a
结合①解得a=

4

3

，b=4
设AB的中点为N，则N（

1

3

，2）．
又∵AC，BD⊥垂直于CD，M是CD的中点∴MN⊥CD，
从而直线MN的方程为y=

1

3

（x-

2

3

）+2
与方程3x+y+3=0联立，
可解得M（-

43

30

，

13

10

）
（2）∵AC，BD⊥垂直于直线y=-3x-3，
∴直线AC的方程为y=

1

3

（x-a），即x-3y-a=0，
且点B到直线AC的距离就等于|CD|，
故得|CD|=

|-3b-a|

1+32

=

a+3b

10

（

1

a

+

1

b

）
=

1

10

(4+

3b

a

+

a

b

)≥

1

10

(4+2

3

)
当且仅当

a= 3 b 1 a + 1 b =1

即

a=1+ 3 b=1+ 3 3

等号成立
因此，所求的直线l的方程为x+

3

y-

3

-1=0．

点评：本题主要考查了直线的截距式方程应用，直线平行和垂直的性质，以及距离公式和基本不等式的综合应用．属于难题．