Question

已知函数f（x）=

2

sin2x+

2

cos2x，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和递减区间；
（2）若f（

α

2

-

π

8

）=

3

2

，α是第二象限的角，求sin2α．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）把给出的函数化积为y=Asin（ωx+φ）的形式，则周期可求，由正弦型复合函数的单调性求解减区间；
（2）把f（

α

2

-

π

8

）=

3

2

代入（1）中的函数解析式，结合α的范围求解α的正余弦值，由倍角公式得答案．

解答： 解（1）∵f（x）=

2

sin2x+

2

cos2x
=2(

2

2

sin2x+

2

2

cos2x)
=2(cos

π

4

sin2x+sin

π

4

cos2x)
=2sin(2x+

π

4

)，
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，得
kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

（k∈Z），
∴函数的递减区间是[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]（ k∈Z）；
（2）由（1）知，f(x)=2sin(2x+

π

4

)，
∴f(

α

2

-

π

8

)=2sinα=

3

2

，即sinα=

3

4

，
又α是第二象限的角，
∴cosα=-

1-sin2α

=-

1-( 3 4 )2

=-

13

4

，
∴sin2α=2sinαcosα=2×

3

4

×(-

13

4

)=-

39

8

．

点评：本题考查了三角函数中的恒等变换的应用，训练了与三角函数有关的复合函数的单调性的求法，考查了二倍角的正弦公式，是中档题．