Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

tanB

tanA

=

2c-a

a

．
（1）求B；
（2）若b=2

2

，a+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）根据正弦定理，将条件进行化简，即可得到结论．
（2）结合余弦定理以及三角形的面积公式即可得到结论．

解答： 解：（1）

tanB

tanA

=

2c-a

a

及正弦定理，得

sinBcosA

cosBsinA

=

2sinC-sinA

sinA

…（2分）
所以sinBcosA=2sinCcosB-cosBsinA，
即sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosB…（3分）
所以sin（A+B）=2sinCcosB，即sinC=2sinCcosB…（4分）
因为在△ABC中，sinA≠0，sinC≠0，所以cosB=

1

2

…（5分）
因为B∈（0，π），所以B=

π

3

…（6分）
（2）由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-8

2ac

=

1

2

，所以a²+c²=8+ac…（8分）
因为a+c=4，所以a²+c²+2ac=16，所以8+3ac=16，所以ac=

8

3

…（10分）
所以S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×

8

3

×

3

2

=

2 3

3

…（13分）

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握两个定理的应用．