Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且函数f（x）只有一个零点-1．
（1）求f（x）表达式；
（2）当x∈[-2，k]时，求函数f（x）的最小值；
（3）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=5x+m的图象上方，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法,二次函数在闭区间上的最值

专题：压轴题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b，c的值，则函数解析式可求；
（2）分k在二次函数对称轴的两侧求得函数f（x）的最小值；
（3）构造函数令g（x）=f（x）-5x-m=x²-3x+1-m，x∈[-1，1]，利用导数求其最小值，由最小值大于0求得m的取值范围．

解答： 解：（1）由二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且函数f（x）只有一个零点-1，得

f(0)=c=1 - b 2a =-1 f(-1)=a-b+c=0

，解得a=1，b=2，c=1．
∴f（x）=（x+1）²；
（2）当x∈[-2，k]时，若-2≤k＜-1，f(x)min=(k+1)2；
当x≥-1时，f（x）_min=0．
∴f(x)min=

(k+1)2，-2≤k＜-1 0，k≥-1

；
（3）令g（x）=f（x）-5x-m=x²-3x+1-m，x∈[-1，1]，
则g′（x）=2x-3，
当x∈[-1，1]时g′（x）≤0恒成立，
∴g（x）在[-1，1]上为减函数，
g（x）_min=1-3+1-m=-1-m，
由-1-m＞0，得m＜-1．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了二次函数最值得求法，训练了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是压轴题．