Question

求函数y=lg（3-4sin²x）的定义域和值域．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：本题可以先根据对数式的定义，得到一个三角不等式，解三角不等式，得到函数定义域，再利用三角函数的值域求出3-4sin²x的范围，从而求出函数y=lg（3-4sin²x）的值域，得到本题结论．

解答： 解：∵函数y=lg（3-4sin²x），
∴3-4sin²x＞0，
∴-

3

2

＜sinx＜

3

2

，
∴2kπ-

π

3

＜x＜2kπ+

π

3

或2kπ+

2

3

π＜x＜2kπ+

4

3

π，k∈Z．
∴函数y=lg（3-4sin²x）的定义域为{x|2kπ-

π

3

＜x＜2kπ+

π

3

或2kπ+

2

3

π＜x＜2kπ+

4

3

π，k∈Z}．
由2kπ-

π

3

＜x＜2kπ+

π

3

或2kπ+

2

3

π＜x＜2kπ+

4

3

π，k∈Z得：
∴0≤sin2α＜

3

4

，
∴0＜3-4sin²x≤3，
∴lg（3-4sin²x）≤lg3．
∴函数y=lg（3-4sin²x）的值域为（-∞，lg3]．
∴函数y=lg（3-4sin²x）的定义域为{x|2kπ-

π

3

＜x＜2kπ+

π

3

或2kπ+

2

3

π＜x＜2kπ+

4

3

π，k∈Z}，值域为（-∞，lg3]．

点评：本题考查了函数的定义域、值域，本题难度不大，属于基础题．