Question

17．（1）已知x∈R，m=x²-1，n=2x+2．求证：m，n中至少有一个是非负数．
（2）已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，求证：（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）≥8．

Answer 1

分析 （1）用反证法证明即可；
（2）利用基本不等式即可证明．

解答 （1）证明：假设m＜0且n＜0，所以 m+n＜0．
又m+n=x²-1+2x+2=x²+2x+1=（x+1）²≥0，
这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，
所以，m，n中至少有一个是非负数；
（2）证明：因为a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，
则：（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）=$\frac{a+b+c-a}{a}$•$\frac{a+b+c-b}{b}$•$\frac{a+b+c-c}{c}$=$\frac{b+c}{a}$•$\frac{a+c}{b}$•$\frac{a+b}{c}$≥2$\frac{\sqrt{bc}}{a}$•2$\frac{\sqrt{ac}}{b}$•2$\frac{\sqrt{ab}}{c}$=8，当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$时取等号．

点评 本题考查了不等式的证明，常采用发证法和基本不等式，属于中档题．