Question

5．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，$\overrightarrow m$=（-2a+c，b），$\overrightarrow n$=（cosB，cosC），且 $\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$=0．
（1）求角B的大小；
（2）若b²=ac，求$\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanC}$的值．

Answer 1

分析 （1）运用向量的数量积的坐标表示，结合两角和的正弦公式，即可求得角B的值；
（2）结合余弦定理得到△ABC为等边三角形，问题得以解决．

解答 解：（1）$\overrightarrow m$=（-2a+c，b），$\overrightarrow n$=（cosB，cosC），且 $\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$=0．
∴（-2a+c）cosB+bcosC=0，
∴（-2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，
∴-2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，
∴-2sinAcosB+sin（C+B）=0，
∴-2sinAcosB+sinA=0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=60°，
（2）由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB=ac，
∴（a-c）²=0，
∴a=c，
又B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴A=C=60°，
∴$\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，以及三角函数的化简和求值，考查正弦定理的运用，以及运算求解能力，属于中档题．