Question

已知F₁，F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，点P是双曲线上的一点，且满足∠F₁PF₂=90°．若△PF₁F₂的面积为4，且双曲线的离心率为

3

，则双曲线的实轴长为（　　）

• A、2
• B、

  6

• C、2

  2

• D、4

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用双曲线的定义||PF₁|-|PF₂||=2a，设双曲线的焦距为2c，通过|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²，结合△PF₁F₂的面积以及双曲线的离心率即可求解实轴长度．

解答： 解：由条件可得||PF₁|-|PF₂||=2a，由题意可知△F₁PF₂为直角三角形，
设双曲线的焦距为2c，则|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²，
故（|PF₁|-|PF₂|）²+2|PF₁|•|PF₂|=|F₁F₂|²=4c²，即4a²+2|PF₁|•|PF₂|=4c²，
故|PF₁|•|PF₂|=2c²-2a²=2b²，故△PF₁F₂的面积为

1

2

|PF₁|•|PF₂|=b²=4，再由双曲线的离心率e=

c

a

=

3

，故c=

3

a，故b²=c²-a²=2a²=4，即a=

2

，故实轴为2a=2

2

．
故选：C．

点评：本题考查双曲线的基本性质的应用，考查计算能力．