Question

设x＞-1，求函数y=

(x+5)(x+2)

x+1

的最值．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的形式，换元：设t=x+1（t＞0），将原函数变为y=

(t+4)(t+1)

t

=

t2+5t+4

t

=t+

4

t

+5，再根据t为正数，可以用基本不等式求出f（t）的最值，最后用等号成立的条件得出相应的x的值．

解答： 解：∵x＞-1，∴x+1＞0，
设x+1=t＞0，则x=t-1，
∴y=

(t+4)(t+1)

t

=

t2+5t+4

t

=t+

4

t

+5≥2

4

+5=9，
当且仅当t=2即x=1时上式取等号，
∴x=1时，函数y有最小值9，无最大值．

点评：本题以分式函数为载体，考查了函数的最值及其应用，采用换元法、利用基本不等式来求解是解决本题的关键；注意：均值不等式定理要求必须满足“一正，二定，三相等”．